乔治·康托尔在孩童时期就表现出了明显的艺术倾向，他是一位杰出的小提琴家。年，22岁的他在柏林大学完成了他的博士论文《在数学中，提出问题的艺术比解决问题更有价值》。康托尔以富有深度的思想家而闻名于世，他长大后敢于提出并回答一个最深刻、最根本的问题：
无穷大有多大？
康托在19世纪70年代、80年代和90年代为这个问题的答案引入了激进的新思想，使集合论成为纯数学的一个新分支。
康托尔的早期生活
乔治·康托尔于年3月3日出生在圣彼得堡。他的父母是丹麦人。他的母亲玛丽来自一个俄罗斯血统的音乐家家庭，他的父亲乔治·沃尔德马尔是一个非常成功的商人，先是在圣彼得堡做批发代理，后来是城市股票市场的经纪人。
康托的父亲和母亲康托尔深受父亲的影响，父亲对文化和哲学有着浓厚的兴趣，在他儿子上中学和大学期间，父亲一直给他的生活和事业提供很多有用的建议。然而，尽管认识到他儿子的数学能力，他仍然固执地试图强迫他的儿子从事工程，认为这是一个比数学更有前途的职业。
教育
康托尔8岁时的成绩。康托尔的学校生涯就像许多极具天赋的数学家一样，他的才华早在15岁之前就得到了展现。早在圣彼得堡，康托尔就接受了私人辅导课。在德国，他先是在法兰克福的达姆施塔特非古典学校上私立学校，年进入威斯巴登体育馆。他以优异的成绩毕业于达姆施塔特的实科中学，并于年开始他的大学学习，他先是学习了两年的工程，然后转到瑞士联邦理工学院学习数学。在他父亲死于肺结核的第二年，他得到了一大笔遗产，并转到柏林大学学习。
年柏林洪堡大学（当时是弗里德里希·威廉大学）在柏林，康托尔参加了恩斯特·库默、利奥波德·克罗内克和卡尔·维尔斯特拉斯的讲座，这些人对算术的兴趣对康托尔早期的工作产生了很大的影响。年，他在当时世界数学思想之都哥廷根大学大学度过了夏季学期。他年的学位论文和年的毕业论文都是关于数论的，特别是高斯在其《算术》研究中遗留下来的一个突出问题，即不定丢番图方程ax+by+cz=0的解，也被称为勒让德方程。
职业生涯早期(-73)
有些人认为，康托尔后来开创性的工作可以追溯到他最早的研究生论文。事实上，在康托尔致力于三角级数理论的研究中，我们确实可以发现他早期对“连续统”的兴趣的痕迹。在柏林的维尔斯特拉斯和黑尔的海涅的影响下，康托关于三角级数定理的第一篇论文于年3月完成并发表，旨在利用无穷三角级数，加深了对任意给定函数表示的收敛性的理解。从黎曼的三角级数和复变函数的工作出发，康托在文中证明了以下定理：
康托尔唯一性定理（）：每个函数f：→最多只能有一个三角级数表示。
如果一个函数f(x)由一个对所有x都收敛的三角级数表示，那么这个表示是唯一的。年，他强化了这个结果，证明即使级数在任意给定区间内的有限个数点上发散，其唯一性也成立。这一结果是当时许多最伟大的思想家都曾尝试过的，其中包括海涅、彼得·狄利克雷和伯恩哈德·黎曼，他们只能证明在某些有限的情况下它是成立的。
他在年发表的论文《论三角级数理论中一个定理的推广》进一步扩展了这一结果，给出了点集P的一个边界点的定义，该边界点的每一个邻域都包含无穷多个P点。P的一阶导数是P的所有边界点的集合，二阶导数P是一阶导数P的所有边界点的集合，以此类推。这一定义为点集拓扑奠定了基础。
集合论
《斯坦福哲学百科全书》将集合论描述为“现代数学最伟大的成就之一”，集合论被广泛认为是由康托尔在-年间所做的研究所建立的。特别地，集合论的起源可以追溯到康托尔于年发表的一篇论文，题为《关于所有实数集合的性质》。它提出的最基本和最重要的结果是实数的不可数性。
在短短的五页里，康托的论文提出了三个重要的结果：
实代数数的集合是可数的；在每一个区间[a,b]中都有无穷多个不包含在任何数列中的数，结果就是实数的集合是无穷无尽的。本文的其余部分将致力于解释第三个结果的含义，即实数的不可数性。为此，我们先从几个基本概念开始。
什么是集合？
集合是元素的集合。由3、4、5组成的集合用{3、4、5}表示。
可数性
可数集合是指具有与自然数集合的某个子集相同基数的集合。
可数性是集合论中的一个重要性质。可数性的直观解释是“列表性”，即集合的元素可以写在一个列表中。最固有的可数集合是自然数集，因为的元素是计数数本身。我们知道，它们在数量上是无限的，所以称为可数无限。对于其他集合，形式上，声明一个集合是可数的，意味着集合的元素可以与自然数集合的元素一一对应，即：
如果存在从S到自然数={1,2,3，…}的内射函数f，则集合S是可数的。如果能找到这样一个f也是满射，则S被称为可数无限集，或可数集。
例如偶数集合(2n
n∈)：
我们看到两个集合的元素可以一一对应，因此我们可以确定偶数集合也是可数的。
可数性使我们可以根据集合所包含的元素的数量来进行比较，而不需要实际计算任何东西，并通过这种方式来推断有限集和无限集的相对大小。从实际考虑，让我们想象一个有个座位的教室来说明这个有限的情况。如果教室里挤满了学生，我们就可以推断出学生的数量与座位数量的关系。如果座位是空的，座位集要比学生集大。如果没有空座，有的学生还站着，则学生的集大小要大于座位集的大小。
有理数的可数性（）
康托尔首次发表关于集合可数性的研究是在年，当时他证明了有理数是可数的。他的证明相当优雅和直观：
让我们首先提出，这组有理数是可数的。为了证明这个命题，让我们把所有有理数排列在一个无限表中：
然后，从左上角开始，从左到右45度移动对角线，从1/1开始，然后是1/2和2/1，然后是3/1，2/2和1/3，以此类推。写下遇到的每一个新数。
它不仅是有序的，而且与自然数的自然顺序一一对应。这证明了有理数的可数性。
实代数数的可数性（）
一年后，在他年的论文中，康托尔证明了实代数数是可数的。实数代数数是实数ω，满足如下公式，aω+aω+…+a=0。也就是说，实代数数是非零实多项式的根。它们是可数的，即：
所有代数实数的集合可以写成一个无穷数列。
康托尔在他年的论文中证明了这一点：
实代数数可数性的证明（）
对于每一个多项式方程的形式
系数为a的整数，定义它的指数为系数的绝对值加上方程的次数之和：
指数2的唯一方程是ω=0，所以它的解0是第一个代数数。指数3的四个方程是2x=0，x+1=0，x-1=0,x2=0。它们的根是0、-1、1，所以他把新值-1和1作为他的代数数列表中的第二项和第三项。
注意，对于每个指数，只有有限的方程，每个方程也只有有限的根。根据指数的顺序和在每个指数内增加数量级来列出新根，这样就建立了列出所有代数数的系统方法。和有理数一样，与自然数的一一对应证明了代数数的集合必须是具有可数性的无穷。
实数的不可数性
康托将可数性作为一个概念的最富有成效的运用出现在他年论文的第三个结果中，他证明了实数的不可数性。实数是一个连续的值，可以表示一条直线上的距离。任何实数都可以用无限小数表示出来，例如8.、0.、10.1等等，其中每个连续数字都以前一个数字的十分之一为单位来计算。实数不可数的表述等价于：
给定任意实数序列和任意区间[α...β]，可以在[α...β]中确定一个数η，η不属于给定的实数序列，因此，我们可以在[α...β]中确定无穷多个这样的数η数。
他最初的证明（康托的第一个不可数性证明）是这样的，基于博尔扎诺-韦斯特拉斯定理：
实数不可数性的证明：
假设我们有一个无穷实数数列，
这个数列是随机生成，而且数字之间互不相同。那么，在任意给定区间(α...β)内，可以确定一个数η，使其不出现在数列(i)中，这样的η是无穷多的。
序列(i)的前两个数位于这个区间的内部（边界除外），可指定为α，β，让αβ。让我们指定数列(α...β)的前两个数α，β并且αβ。同样地，构造下一个区间，以此类推。
因此，根据定义，α,α...是序列(i)的确定数，其指数是递增的。序列β，β，...也是如此。此外，数列α，α…总是增加的，而数列β，β，…总在减小。
在第一种情况下，这样形成的间隔的数目是有限的。在这种情况下，让最后一个是（α…β）。因为它的内部最多可以是序列(i)中的一个数，所以可以从这个区间中选择一个不包含在(i)中的数η，从而证明了定理。
在第二种情况下，构造区间的数目是无限的。那么，因为它们总是在不断地增大，而不是无限地增大，所以这些数α，α，α，…有一个确定的边界值α。同样适用于数字β，β，β，…因为它们总是在变小。设其边值为β。如果α=β，η=α=β不能包含在我们的序列(i)中。然而，如果αβ，然后区间[α...β]内的所有η值以及它的边界满足它不包含在序列(i)中的要求。
无限集
我反对使用无穷量级作为完成的东西，这在数学中是不允许的。无限只是一种说法——高斯，年
到目前为止，我们遇到的所有集合的元素都是无限的，这意味着它们会无限延伸。然而，我们也证明了它们的“大小”是不一样的，或者至少，它不能与自然数一一对应。也许更矛盾的是，我们已经看到无穷集（自然数）的无穷子集（例如偶数）可以变成一对一的对应关系，这就产生了无穷集的一个特殊性质，即：
集合A是无限的，当且仅当，A和集合X之间存在一一对应并且X是A的一个真子集
这个由戴德金创造的特性，看起来似乎是自相矛盾的，因为直觉上认为一个整体的元素总比它的某些部分的元素多。这意味着，如果两个无限集包含相同数量的元素，那么：
它们之间一一对应；任何整体的大小必须大于它的任何部分的大小；那么，一个无限集合中的元素的数量就不能被认为是它大小的度量。它表明无限集合的元素在某种意义上“数不胜数”，考虑到你永远不可能把它们全部数出来，也因为在这个领域用数字来衡量大小的概念没有什么意义，如果一一对应表示集合的大小是相同的，那么所有的无穷集似乎都是相同的。
基数
那么我们该如何研究无穷集的性质和差异呢？年，康托尔发现了不可数无限集的存在性。年，康托尔开始了一项更广泛的研究，他称之为基数，即集合的大小。集合A的基数通常用
A
表示，有时用card(A)表示。
康托尔对基数的定义
我们可以称之为“幂”或基数，因为我们的思维能力，从集合M中抽象出各种元素的性质和它们所被赋予的次序，便产生了一般的概念。
或者更简单地说，基数是用于度量集合大小的自然数的泛化。利用基数性，康托尔能够正式回答他反复问戴德金的问题，即一个正方形是否可以映射到一条直线上，每条直线上的点是一一对应的，即：
定理：所有实数有序对（即实平面）集合的大小与相同。
这个定理出现于康托年的论文《Acontributiontomanifoldtheory》，并且可以用以下方式优雅地证明：
证明
=
证明所有点（x，y）（0x，y1）的集合可以双射映射到(0,1]上。考虑点（x，y）并将x,y写成其唯一的十进制数形式，示例如下：
请注意，x和y的数字被分成了组，总是指向下一个非零数字。现在我们把数字z∈（0,1）与（x，y）联系起来，写下第一个x群组，然后是第一个y群组，然后是第二个x群组，以此类推。因此，在我们的例子中，我们得到：
由于x和y从某一点开始都不为零，我们发现z的表达式仍然是一个不终止的小数展开。从z的展开，我们可以立即读出原像(x,y)，并且映射是双射的。
所以，再次矛盾的是，二维平面确实可以双向（一对一对应）映射到一维直线上。归纳地说，我们可以把结果扩展到更高的维度。它违反直觉的本质导致康托著名地宣布：
我证明了它，但我仍然无法相信。
无限的基数
当康托在年转而研究无穷基数时，他已经意识到存在着两种这样的“幂”，点集（如自然数）和连续体（如实数）。在他年的论文《FoundationsofaGeneralTheoryofManifolds》中，他介绍了两个无穷之间的区别，超限的和绝对的：
超限数是指“无限”的数，因为它们比所有有限数都大，但不一定是绝对无限的。
同样由康托提出的绝对无限ω，可以认为是一个比任何可以想象或不可想象的有限或超限的量都大的数。超限的数在量上是可增加的，而绝对是不可增加的。他所想到的特殊的超限数，是他通过研究某些无穷集的可数性（如自然数）和其他无穷集的不可数性(如实数)而意识到的。他分别把它们的基数和标记为前两个“无穷大数列”，都小于绝对无穷大ω。
连续统假说（）
在自然数（）和实数（）的基数之间没有无限的基数。
如果不讨论连续统假说，康托二的介绍就不可能是完整的。这个假说与他的毕生著作康托连续体假说永远联系在一起。他关于这个猜想的大部分工作发表在年至年的《数学年鉴》杂志上。
康托尔和他的六篇论文。然而，它的第一次出现是在年的一篇论文中，他在文中写道：
问题来了，一条连续直线的不同部分，也就是可以在其中构想出的不同无限流形点，是如何与它们的幂有关的。让我们抛开这个问题的几何表象，用一个实数的线性流形来理解无穷多个不同实数所能想到的所有集合。如果将具有相同幂的流形放入相同的类中，而将具有不同幂的流形放入不同的类中，那么线性流形将分为多少类？通过一个归纳过程，该定理表明，由这个排序原则产生的线性流形的类数是有限的，而且确实等于2。
我们知道基数0，1，2…无穷基数，并且进一步证明实数的基数大于。康托关于连续统假说的论述是，实数的基数是继之后的下一个超限数，即：
这意味着没有集合的基数大于自然数，且小于c，c是实数的基数。在这个意义上超越了除了它本身以外的任何可数基数集合，只有通过，才能将其他基本数字相加得出。
试图证明
康托尔在他生命中剩下的许多年里都在努力证明连续统假说是正确的。他的直接策略是使用点集P的派生集P来测量它的基数。正如伯特兰·罗素所言：
一般来说，一阶导数由所有的点组成，这些点的邻域内堆积着无穷个集合项，而随后的导数，在任何邻域都能得到不同程度的集中。因此，很容易看出为什么导数与连续性相关，为了保持连续，集合必须尽可能地集中在包含集合的任何部分的每个邻域中。
因为求导过程不一定在可数的无限次迭代后终止，康托继续这个过程到超限。当这种策略失败后，康托转向了他所谓的“间接策略”，这是年出版的《总量通论基础》的主要主题。策略是基于他的幂理论的基数，即引入一个类的超限数据可用于计算任意无限集的大小。在这个系统中，连续统假说将通过确定连续统的幂在超限数的“尺度”上的位置来证明，它是第一个不可数的超限数。
康托花了许多年的时间试图解决连续统假说。有一天他以为自己找到了证明其正确性的证据，第二天他又找到了证明其谬误的证据，第二天又找到了证明其正确性的证据，后来才发现他所有的证据都是无效的。
心理健康
年5月，在他首次证明实数字不可数性的十年后，康托第一次遭受了严重的精神崩溃。大多数历史学家认为，这次崩溃的原因是康托尔与柏林大学的利奥波德·克罗内克之间持续不断的争论，以及连续统假说的明显难以证明。我们可以从康托写给瑞典数学家米塔格-莱弗勒的信中读到，康托的第一次精神崩溃发生在他刚从愉快的巴黎之旅回来时，他在那里遇到了其他数学家昂利·彭加莱。康托写道，他非常喜欢彭加莱，并且很高兴地得知，这位伟人理解了他的超限集合理论及其应用。此外，他写道，他花了很多时间参观画廊和博物馆，沉浸在他对歌剧和戏剧的热爱中。据报道，康托的精神崩溃发生在他回到德国处理家庭事务后不久。
最后几年
年住院治疗后，直到年康托尔才有再次入住疗养院的记录。那一年，他最小的儿子去世了，据报道康托失去了对数学的热情。年，朱利叶斯·康尼锡发表了一篇论文，试图反驳超限集理论的基本观点，康托认为这是一种公开的羞辱。尽管恩斯特·泽梅洛在不到一天后就证明了报纸的无效性，康托尔仍然心有芥蒂，甚至暂时开始质疑上帝的存在（康托尔是一个虔诚的基督徒）。
尽管康托尔继续寻求柏林大学的职位，但他将留在黑尔大学直到他去世。在他生命的最后20年里，他一直处于慢性抑郁的状态，为他关于集合理论的有争议的观点辩护，主要是反对来自德国其他数学家的批评。年康托尔退休，在第一次世界大战期间生活在贫困和营养不良的痛苦中。年6月，他再次进入疗养院，最终在年1月6日死于心脏病发作。
失乐园
年，德国数学家大卫·希尔伯特将连续统假说列为决定20世纪数学未来的23个最重要问题之一。他的预测被证明是准确的，就像其他数学家试图证明或反驳康托猜想一样，导致了迄今为止集合论中一些最深入的工作。
直到年，奥匈逻辑学家库尔特·哥德尔通过证明集合论的其他公理无法证明连续统假说的一致性，证实了它的一致性。23年后，美国数学家保罗·科恩通过证明集合论的其他公理无法证明连续统假说，确立了它的独立性。康托尔猜想的一致性和独立性意味着有可能建立满足连续体假说和其他不满足连续体假说的有效集合理论模型。认识到这个和其他无法证明的陈述的存在，改变了数学作为一门严格的逻辑学科的本质，促使希尔伯特在年为坎特利集合论辩护时宣布：
从康托尔为我们创造的天堂里，没有人能驱逐我们——大卫·希尔伯特。
泪目！